Si vous pensiez que les mathématiques avancées au lycée étaient mauvaises, ayez une pensée pour un trio de mathématiciens dont la solution à un seul problème mathématique occupe 200 téraoctets de texte de base – même avec l’aide d’un superordinateur.
Si l’on considère qu’un seul téraoctet peut contenir 337 920 copies de Guerre et Paix – l’un des plus longs romans jamais écrits – on peut commencer à comprendre à quel point c’est insensé. Le précédent détenteur du record était apparemment une épreuve de 13 gigaoctets, publiée en 2014.
Quel est donc ce problème mathématique ridicule ? Il a été nommé le problème des Triples booléens de Pythagore, et a été posé pour la première fois par le mathématicien californien Ronald Graham dans les années 1980.
Le problème est centré sur la formule de Pythagore a2 + b2 = c2, où a et b sont les petits côtés d’un triangle, et c est l’hypoténuse, ou le côté le plus long.
Certains ensembles de trois entiers positifs, connus sous le nom de triples de Pythagore, peuvent être insérés dans la formule, tels que32 +42 =52,52 +122 =132 et82 +152 =172.
En gardant cela à l’esprit, imaginez que chaque nombre entier est peint en rouge ou en bleu.
Graham a demandé s’il était possible de colorer tous les entiers en rouge ou en bleu, de sorte qu’aucun ensemble de triplets pythagoriciens – a, b et c – ne soit de la même couleur. Il a mis 100 dollars en jeu pour quiconque parviendrait à résoudre le problème. (Cela devrait couvrir un disque de 1 téraoctet)
Andrew Moseman, de Popular Mechanics, explique pourquoi ces 100 dollars semblent bien maigres, compte tenu de la tâche à accomplir :
“Ce qui rend le problème si difficile, c’est qu’un seul entier peut faire partie de plusieurs triples de Pythagore. Prenons 5. Donc 3, 4 et 5 sont un triplet de Pythagore. Mais 5, 12 et 13 le sont aussi. Si 5 est bleu dans le premier exemple, alors il doit être bleu dans le second, ce qui signifie que 12 ou 13 doit être rouge.
Si l’on applique cette logique à des nombres beaucoup plus grands, on peut voir que les choses commencent à se compliquer. Si le 12 doit être rouge dans ce triple 5-12-13, cela pourrait obliger à des changements en aval qui aboutiraient à un triple monochrome quelque part.”
Les mathématiciens Marijn Heule, de l’université du Texas, Victor Marek, de l’université du Kentucky, et Oliver Kullmann, de l’université de Swansea, au Royaume-Uni, ont fait équipe pour résoudre ce problème. Ils ont introduit un certain nombre de techniques différentes dans le superordinateur Stampede de l’université du Texas et l’ont laissé réduire le nombre de combinaisons de couleurs possibles de 102 300 milliards (c’est-à-dire102 300) à seulement 1 trillion.
Le supercalculateur, qui compte 800 processeurs, a ensuite mis deux jours pour examiner les mille milliards restants et trouver une solution : 7,824. Dès que vous essayez 7 825 entiers ou plus, vous ne pouvez pas créer le modèle que Graham recherchait.
Devinez qui est maintenant plus riche de 100 dollars… répartis en trois ! Le brave Graham a remis le chèque au début du mois.
La preuve, c’est-à-dire, en mathématiques, un argument déductif écrit qui montre comment on est arrivé à la réponse, occupe un fichier de 200 téraoctets sur le superordinateur, ce qui équivaut à peu près à l’ensemble des textes numérisés de la bibliothèque du Congrès américain.
Selon Evelyn Lamb, de Nature, le trio a créé une version compressée de 68 gigaoctets de leur solution, qui prendrait environ 30 000 heures à télécharger, reconstruire et vérifier. Le problème ? Aucun humain ne peut espérer lire une telle chose.
Au lieu de cela, l’équipe a dû faire appel à un autre programme informatique pour vérifier les résultats et montrer que sa solution répondait aux critères de la question initiale, et Graham a été satisfait de cette confirmation.
Mais les critiques se demandent si cela est suffisant. Si aucun humain ne peut lire la solution, cela ne signifie pas qu’elle n’est pas correcte, mais elle ne tient pas compte d’un élément très important de la résolution des problèmes mathématiques : elle ne peut pas expliquer pourquoi le coloriage est impossible à partir de 7 825, elle sait simplement que c’est le cas.
“Bien que la solution informatique ait résolu le problème des triplets booléens de Pythagore, elle n’a pas fourni de raison sous-jacente expliquant pourquoi le coloriage est impossible, ni cherché à savoir si le nombre 7 825 a un sens”, explique M. Lamb. “Cela fait écho à une objection philosophique courante sur la valeur des preuves assistées par ordinateur : elles sont peut-être correctes, mais sont-elles vraiment mathématiques ?”
Si les mathématiques ont pour but de faire progresser les connaissances humaines et de comprendre la signification des nombres pour nous et l’Univers qui nous entoure, un ordinateur qui débite des solutions que nous ne comprendrons jamais semble aller à l’encontre des principes mêmes de la discipline.
Si vous réfléchissez à cette question, vous pouvez jeter un coup d’œil à l’article sur le site Web de pré-impression, arXiv.org. Il n’a pas encore fait l’objet d’un examen par les pairs, car il faudrait une équipe de robots mathématiciens pour cela, je suppose.