Les 17 équations qui ont changé le cours de l’histoire

Les mathématiques sont partout autour de nous, et elles ont façonné notre compréhension du monde d’innombrables façons. En 2013, le mathématicien et auteur scientifique Ian Stewart a publié un livre sur les 17 équations qui ont changé le monde. Nous sommes récemment tombés sur ce tableau pratique sur le compte twitter de Paul Coxon par le tuteur de mathématiques et blogueur Larry Phillips qui résume les équations. (Notre explication de chacune d’entre elles figure ci-dessous) :

Voici un peu plus d’informations sur ces merveilleuses équations qui ont façonné les mathématiques et l’histoire de l’humanité :

1. Le théorème de Pythagore

Ce théorème est à la base de notre compréhension de la géométrie. Il décrit la relation entre les côtés d’un triangle rectangle sur un plan plat : on élève au carré les longueurs des petits côtés, a et b, on les additionne et on obtient le carré de la longueur du grand côté, c.

D’une certaine manière, cette relation distingue la géométrie euclidienne normale et plate de la géométrie courbe et non euclidienne. Par exemple, un triangle rectangle dessiné sur la surface d’une sphère ne doit pas nécessairement respecter le théorème de Pythagore.

2. Logarithmes

Les logarithmes sont les inverses, ou les contraires, des fonctions exponentielles. Un logarithme pour une base particulière vous indique à quelle puissance vous devez élever cette base pour obtenir un nombre. Par exemple, le logarithme en base 10 de 1 est log(1) = 0, puisque 1 =100; log(10) = 1, puisque 10 =101; et log(100) = 2, puisque 100 =102.

L’équation du graphique, log(ab) = log(a) + log(b), montre l’une des applications les plus utiles des logarithmes : ils transforment une multiplication en addition.

Jusqu’au développement de l’ordinateur numérique, c’était le moyen le plus courant de multiplier rapidement de grands nombres, ce qui accélère considérablement les calculs en physique, en astronomie et en ingénierie.

3. Le calcul

La formule donnée ici est la définition de la dérivée en calcul. La dérivée mesure la vitesse à laquelle une quantité change. Par exemple, nous pouvons considérer la vitesse comme étant la dérivée de la position – si vous marchez à 4,8 km par heure, vous changez de position de 4 km par heure.

Naturellement, une grande partie de la science cherche à comprendre comment les choses changent, et la dérivée et l’intégrale – l’autre fondement du calcul – sont au cœur de la façon dont les mathématiciens et les scientifiques comprennent le changement.

4. La loi de la gravitation

La loi de la gravitation de Newton décrit la force de gravité entre deux objets, F, en fonction d’une constante universelle, G, des masses des deux objets, m1 et m2, et de la distance entre les objets, r. La loi de Newton est une pièce remarquable de l’histoire scientifique – elle explique, presque parfaitement, pourquoi les planètes se déplacent de la manière dont elles le font. Son caractère universel est également remarquable : la gravité ne fonctionne pas seulement sur Terre ou dans notre système solaire, mais partout dans l’Univers.

La gravité de Newton a très bien résisté pendant 200 ans, et il a fallu attendre la théorie de la relativité générale d’Einstein pour qu’elle soit remplacée.

5. La racine carrée de -1

Les mathématiciens ont toujours élargi l’idée de ce que sont réellement les nombres, passant des nombres naturels aux nombres négatifs, aux fractions et aux nombres réels. La racine carrée de -1, généralement écrite i, complète ce processus, donnant naissance aux nombres complexes.

Du point de vue mathématique, les nombres complexes sont extrêmement élégants. L’algèbre fonctionne parfaitement comme nous le souhaitons : toute équation a une solution en nombres complexes, ce qui n’est pas le cas pour les nombres réels : x2 + 4 = 0 n’a pas de solution en nombres réels, mais elle a une solution complexe : la racine carrée de -2. Le calcul peut être étendu aux nombres complexes et, ce faisant, nous découvrons des symétries et des propriétés étonnantes de ces nombres. Ces propriétés rendent les nombres complexes essentiels en électronique et en traitement du signal.

6. La formule des polyèdres d’Euler

Les polyèdres sont les versions tridimensionnelles des polygones, comme le cube à droite. Les angles d’un polyèdre sont appelés sommets, les lignes reliant les sommets sont les arêtes, et les polygones qui le recouvrent sont les faces.

Un cube a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces. Si j’additionne les sommets et les faces et que je soustrais les arêtes, j’obtiens 8 + 6 – 12 = 2.

La formule d’Euler stipule que, tant que votre polyèdre se comporte assez bien, si vous additionnez les sommets et les faces et soustrayez les arêtes, vous obtiendrez toujours 2. Cela sera vrai, que votre polyèdre ait 4, 8, 12, 20 ou n’importe quel nombre de faces.

L’observation d’Euler était l’un des premiers exemples de ce que l’on appelle aujourd’hui un invariant topologique – un nombre ou une propriété partagée par une classe de formes similaires les unes aux autres. La classe entière des polyèdres “bien portants” aura V + F – E = 2. Cette observation, ainsi que la solution d’Euler au problème des ponts de Konigsburg, ont ouvert la voie au développement de la topologie, une branche des mathématiques essentielle à la physique moderne.

7. La distribution normale

La distribution de probabilité normale, qui présente le graphique familier de la courbe en cloche à gauche, est omniprésente dans les statistiques.

La courbe normale est utilisée en physique, en biologie et dans les sciences sociales pour modéliser diverses propriétés. L’une des raisons pour lesquelles la courbe normale apparaît si souvent est qu’elle décrit le comportement de grands groupes de processus indépendants.

8. Équation d’onde

Il s’agit d’une équation différentielle, ou d’une équation qui décrit l’évolution d’une propriété dans le temps en fonction de la dérivée de cette propriété, comme ci-dessus. L’équation d’onde décrit le comportement des ondes – une corde de guitare qui vibre, les ondulations d’un étang après le jet d’une pierre, ou la lumière qui sort d’une ampoule à incandescence. L’équation d’onde était une des premières équations différentielles, et les techniques développées pour résoudre cette équation ont ouvert la voie à la compréhension d’autres équations différentielles.

9. La transformée de Fourier

La transformée de Fourier est essentielle pour comprendre des structures d’ondes plus complexes, comme la parole humaine. Étant donné une fonction d’onde compliquée et désordonnée, comme l’enregistrement d’une personne qui parle, la transformée de Fourier nous permet de décomposer cette fonction désordonnée en une combinaison d’un certain nombre d’ondes simples, ce qui simplifie grandement l’analyse.

La transformée de Fourier est au cœur du traitement et de l’analyse des signaux modernes, ainsi que de la compression des données.

10. Équations de Navier-Stokes

Comme l’équation des ondes, il s’agit d’une équation différentielle. Les équations de Navier-Stokes décrivent le comportement des fluides en mouvement – l’eau qui se déplace dans un tuyau, l’air qui passe sur une aile d’avion ou la fumée qui s’échappe d’une cigarette. Bien que nous disposions de solutions approximatives des équations de Navier-Stokes qui permettent aux ordinateurs de simuler assez bien le mouvement des fluides, la question de savoir s’il est possible de construire des solutions mathématiquement exactes aux équations reste ouverte (avec un prix d’un million de dollars).

11. Équations de Maxwell

Cet ensemble de quatre équations différentielles décrit le comportement et la relation entre l’électricité (E) et le magnétisme (H).

Les équations de Maxwell sont à l’électromagnétisme classique ce que les lois du mouvement et la loi de la gravitation universelle de Newton sont à la mécanique classique – elles constituent le fondement de notre explication du fonctionnement de l’électromagnétisme à l’échelle quotidienne. Cependant, comme nous le verrons, la physique moderne repose sur une explication de l’électromagnétisme par la mécanique quantique, et il est désormais clair que ces élégantes équations ne sont qu’une approximation qui fonctionne bien à l’échelle humaine.

12. Deuxième loi de la thermodynamique

Cette loi stipule que, dans un système fermé, l’entropie (S) est toujours constante ou croissante. L’entropie thermodynamique est, en gros, une mesure du degré de désordre d’un système. Un système qui commence dans un état ordonné mais inégal – par exemple, une région chaude à côté d’une région froide – aura toujours tendance à s’égaliser, la chaleur passant de la région chaude à la région froide jusqu’à ce qu’elle soit uniformément répartie.

La deuxième loi de la thermodynamique est l’un des rares cas en physique où le temps a une telle importance. La plupart des processus physiques sont réversibles : nous pouvons exécuter les équations à l’envers sans que cela n’interfère. La deuxième loi, cependant, ne fonctionne que dans ce sens. Si nous mettons un glaçon dans une tasse de café chaud, nous voyons toujours le glaçon fondre, mais jamais le café geler.

13. Relativité

Einstein a radicalement modifié le cours de la physique avec ses théories de la relativité restreinte et générale. L’équation classique E = mcLa relativité restreinte a apporté des idées telles que la vitesse de la lumière comme limite de vitesse universelle et l’écoulement du temps comme différent pour les personnes se déplaçant à des vitesses différentes.2 stipule que la matière et l’énergie sont équivalentes l’une à l’autre

La relativité générale décrit la gravité comme une courbure et un pliage de l’espace et du temps eux-mêmes, et a constitué le premier changement majeur dans notre compréhension de la gravité depuis la loi de Newton. La relativité générale est essentielle à notre compréhension des origines, de la structure et du destin ultime de l’Univers.

14. Équation de Schrodinger

Il s’agit de la principale équation de la mécanique quantique. Comme la relativité générale explique notre Univers à ses plus grandes échelles, cette équation régit le comportement des atomes et des particules subatomiques.

La mécanique quantique moderne et la relativité générale sont les deux théories scientifiques les plus abouties de l’histoire – toutes les observations expérimentales que nous avons faites à ce jour sont entièrement conformes à leurs prédictions. La mécanique quantique est également nécessaire à la plupart des technologies modernes : l’énergie nucléaire, les ordinateurs à semi-conducteurs et les lasers reposent tous sur des phénomènes quantiques.

15. La théorie de l’information

L’équation donnée ici est celle de l’entropie informationnelle de Shannon. Comme pour l’entropie thermodynamique donnée ci-dessus, il s’agit d’une mesure du désordre. Dans ce cas, elle mesure le contenu informationnel d’un message – un livre, une image JPEG envoyée sur Internet, ou tout ce qui peut être représenté symboliquement. L’entropie de Shannon d’un message représente une limite inférieure de la quantité de données que ce message peut être comprimé sans perdre une partie de son contenu.

La mesure de l’entropie de Shannon a lancé l’étude mathématique de l’information, et ses résultats sont essentiels à la façon dont nous communiquons aujourd’hui sur les réseaux.

16. La théorie du chaos

Cette équation est la carte logistique de May. Elle décrit un processus évoluant dans le temps –xt+1, le niveau d’une certaine quantité x dans la prochaine période de temps – est donné par la formule de droite, et dépend de xt, le niveau de x à l’instant présent. k est une constante choisie. Pour certaines valeurs de k, la carte présente un comportement chaotique : si nous commençons à une certaine valeur initiale de x, le processus évoluera dans un sens, mais si nous commençons à une autre valeur initiale, même très proche de la première, le processus évoluera d’une manière complètement différente.

Nous observons un comportement chaotique – un comportement sensible aux conditions initiales – comme celui-ci dans de nombreux domaines. La météo en est un exemple classique : un petit changement dans les conditions atmosphériques un jour donné peut entraîner des systèmes météorologiques complètement différents quelques jours plus tard, ce qui est le plus souvent illustré par l’idée qu’un papillon battant des ailes sur un continent provoque un ouragan sur un autre continent.

17. L’équation de Black-Scholes

Autre équation différentielle, l’équation de Black et Scholes décrit la manière dont les experts financiers et les traders déterminent les prix des produits dérivés. Les produits dérivés – produits financiers basés sur un actif sous-jacent, comme une action – constituent une partie importante du système financier moderne.

L’équation de Black et Scholes permet aux professionnels de la finance de calculer la valeur de ces produits financiers, en fonction des propriétés du produit dérivé et de l’actif sous-jacent.